Родился в Ижевске в семье потомственных оружейников; отец в то время был партийным работником, мать — учительницей.
В 1934 году после окончания средней школы поступил в индустриальный техникум; в 1938 году окончил его с квалификацией техника-технолога, по окончании техникума работал на заводе.
В 1939 году был призван в ряды Красной Армии и направлен в школу младшего командирского состава, а позже — в школу оружейного мастерства. В годы Великой Отечественной войны старший оружейный мастер Драгунов, служивший на Дальнем Востоке, на фронт не попал. В дальнейшем, до демобилизации в 1945 году, работал старшим оружейным мастером.
В декабре 1945 года Евгений Драгунов в звании старшего сержанта артиллерии вернулся на Ижевский машиностроительный завод, где вновь продолжил работу старшим оружейным мастером в отделе главного конструктора. Уже через год работал самостоятельно, занимаясь модернизацией трёхлинейной винтовки Мосина. В 1949 году была запущена в серийное производство его первая спортивная винтовка С-49.
Всемирную известность получил за создание различных образцов стрелкового спортивного и боевого оружия, в частности — снайперской винтовки Драгунова (СВД).
Умер Евгений Фёдорович 4 августа 1991 года. Похоронен на Хохряковском кладбище г. Ижевска.